Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

18(C5). Система уравнений с параметром (вар. 103)

Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений

$\left\{ \begin{array}{lcl} {a^2-x^2+2x-2a} \leq{0} \\ x^2=4x-a \\ \end{array} \right$

имеет ровно одно решение.

Подставим х² из второго уравнения в первое неравенство:

${a^2-(4x-a)+2x-2a}\leq{0}$

${2x}\geq{a^2-a}$

${x}\geq{\frac{a^2-a}{2}}$

Обозначим получившуюся дробь буквой р и найдём такие значения а,
при которых один и только один корень уравнения х² - 4х + а = 0
удовлетворят неравенству х ≥ р.

Пусть f(x) = х² - 4х + а, графиком функции является парабола, ветви
которой направлены вверх, первая координата вершины равна двум.

Возможны два варианта:

1) Корни квадратного уравнения находятся по разные стороны от точки р.

20(C5). Система уравнений с параметром (вар. 103)

В этом случае необходимо и достаточно решить неравенство f(p) < 0.

2) р - корень уравнения, а вершина параболы расположена левее р.

20(C5). Система уравнений с параметром (вар. 103)

======================================

Займёмся сначала первым случаем, решим неравенство:

$f(p)<0$

$f(\frac{a^2-a}{2}) < 0$

${(\frac{a^2-a}{2})}^2-{4}\cdot{(\frac{a^2-a}{2})}+a<0$

$a^4-2a^3-7a^2+12a<0$

$a(a^3-2a^2-7a+12)<0$

$a(a^3-3a^2+a^2-3a-4a+12)<0$

$a(a^2(a-3)+a(a-3)-4(a-3))<0$

$a(a-3)(a^2+a-4)<0$

20(C5). Система уравнений с параметром (вар. 103)

======================================

Второй случай. Просто проверим все четыре значения а.
Очевидно, что при а = 0 система имеет два решения.
При а = 3 система имеет единственное решение (какое?)

Т.к. две оставшиеся точки проверить сложнее, можно
пойти сразу другим путём, решив неравенство p ≥ 2.

${\frac{a^2-2}{2}}\geq{2}$

${a^2-a-4}\geq{0}$

${a}\leq{\frac{1-\sqrt{17}}{2}}$ ${a}\geq{\frac{1+\sqrt{17}}{2}}$

Этому условию удовлетворяет (кроме числа 3) только точка

$a=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$

Ответ: $[\frac{-1-\sqrt{17}}{2}; 0); (\frac{-1+\sqrt{17}}{2}; 3]$

Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 7576

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Михаил
Дата: 2015-03-09

Можно построить множество в системе координат (х,а) заданное первым неравенством, а также график второго уравнения (параболу). контрольные точки находим, глядя на рисунок

Добавить Ваш комментарий:

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников